Halaman
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRIMATEMATIKA PEMINATANKELAS XIIPENYUSUNYuyun Sri YuniartiSMA Negeri 1 Pedes
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN.............................................................................................................................................2DAFTAR ISI............................................................................................................................................3GLOSARIUM...........................................................................................................................................4PETA KONSEP.......................................................................................................................................5PENDAHULUAN...................................................................................................................................6A. Identitas Modul...........................................................................................................6B. Kompetensi Dasar.......................................................................................................6C. Deskripsi Singkat Materi............................................................................................6D. Petunjuk Penggunaan Modul......................................................................................7E. Materi Pembelajaran...................................................................................................7KEGIATAN PEMBELAJARAN 1.......................................................................................................8Limit Fungsi Trigonometri 1...........................................................................................................8A.Tujuan Pembelajaran..................................................................................................8B.Uraian Materi..............................................................................................................81.Metode substitusi langsung.........................................................................................82.Menggunakan rumusdasar limit fungsi trigonometri............................................9C.Rangkuman...............................................................................................................10D.Latihan Soal..............................................................................................................10E.Penilaian Diri............................................................................................................13KEGIATAN PEMBELAJARAN 2.....................................................................................................14Limit Fungsi Trigonometri 2.........................................................................................................14A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................14B.Uraian Materi............................................................................................................141)Menggunakan metode pemfaktoran.....................................................................142) Menyederhanakan Fungsi Trigonometrinya..............................................................15C.Rangkuman...............................................................................................................16D.Latihan Soal..............................................................................................................16E.Penilaian Diri............................................................................................................18EVALUASI.............................................................................................................................................19DAFTAR PUSTAKA............................................................................................................................27
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4GLOSARIUM•Limit; nilai pendekatan di sekitar titik tertentu baik pendekatan dari kiri suatu titik maupun pendekatan dari kanan titik tersebut.•Metode Substitusi; menentukan nilai limit dengan mensubstitusi langsung batas limit ke dalam limit fungsi untuk limit tidak bentuk tak tentu.•Metode pemfaktoran; menentukan limit bentuktidak tentu dengan memfaktorkan pembilang dan atau penyebut agar dapat dilakukan metode substitusi.
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5PETA KONSEPAnanda tercinta, berikut disajikan peta materi untuk konsep limit fungsi trigonometri. Konsep limitfungsitrigonometri tidak lepas dari materi limit fungsi aljabar dan rumus-rumus trigonometrinya. Oleh karena itu kedua materi tersebut merupakan materi prasyarat untuk Ananda dalam memahami, menentukan dan menyelesaikan masalah limit fungsi trigonometri.FungsiFungsi AljabarLimit Fungsi AljabarSifat-sifat Limit FungsiFungsi TrigonometriRumus-rumus trigonometriLimit Fungsi Trigonometrisubstitusi langsungrumus dasar limit fungsi trigonometripemfaktoranmenyederhanakan rumus trigonometriMateri Prasyaratdi kelas XI
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6PENDAHULUANHaloo... Ananda tercinta, salam jumpa kembali pada pembelajaran matematika. Kalian tentu tahu bahwa matematika merupakan ilmu yang dibutuhkan di semua bidang. Bahkan ada seloroh bahwa ketika kita berhenti bermatematik maka berhenti pulalah kehidupan ini. Nahh dalam kehidupan sehari-hari, berbagai permasalahan yang kita hadapi dapat melahirkan berbagai konsep matematika. Berdasarkan konsep umum matematika yang diperoleh dari permasalahan tersebut, kita mampu menyelesaikan kembali permasalahan yang serupa. Sebagai contoh, misalkan kita melakukan pengamatan terhadap respon tubuh yang sedang alergi terhadap suatu zat dengan tingkat dosis obat antibiotik. Dari data yang kita peroleh, kita dapat memodelkan batas dosis pemakaian antibiotik tersebut. Dengan demikian, masalah alergi yang serupa dapat diatasi bila kembali terjadi. Percobaan yang kita lakukan adalah sebuah konsep pendekatan terhadap solusi permasalahan tersebut. Jadi, konsep dapat kita peroleh dengan mengamati, menganalisisdata dan menarikkesimpulan.A. Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika PeminatanKelas:XIIAlokasi Waktu:12JPJudul Modul:Limit Fungsi TrigonometriB. Kompetensi Dasar3.1Menjelaskan dan menentukan limit fungsi trigonometri4.1 Menyelesaikanmasalah berkaitan dengan limit fungsi trigonometriC. Deskripsi Singkat MateriPada pendahuluan, Ananda telah diajak untuk memahami suatu konsep pendekatan pada nilai tertentu. Konsep tersebut merupakan contoh konsep dasar sederhana dari materi limit fungsi dalam kehidupan sehari-hari. Pada pertemuan kali ini kita akan membahas tentang limit fungsi trigonometri. Di kelas XI Ananda telah belajar tentang limit fungsi aljabar, sedangkan materi yang akan kita bahas dalam modulini yaitu tentang limit fungsi trigonometri. Ketika mendengar kata trigonometri pasti Ananda ingat bahasan tentang trigonometri di kelas X. Jadi benar apa yang Ananda pikirkan jika materi kali ini berkaitan dengan trigonometri di kelas X dan limit fungsi aljabar di kelas XI. Jika Ananda sedikit lupa tentang kedua hal tersebut, Ananda boleh membuka kembali buku matematika kelas X dan XI dan mengingat kedua konsep tersebut yang telah bapak/ibu guru matematika ajarkan di kelas X dan XI. Jika belum terlalu paham, jangan khawatir, dalam modul pembelajaran mengenai materi limit fungsi trigonometri kita akan belajar perlahan langkah demi langkah secara rinci agar Ananda dapat lebih mudah memahaminya.
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7D. Petunjuk Penggunaan ModulSebelum Ananda mempelajari e-modulini, Ananda harus memperhatikan petunjuk sebagai berikut: Petunjuk Umum❖Bacalah modul ini secara berurutan dan pahami isinya.❖Pelajari contoh-contoh penyelesaian permasalahan dengan seksama dengan pemahaman bukan dihapalkan.❖Kerjakan semua tugas-tugas yang ada dalam modul ini agar kompetensi Ananda berkembang sesuai dengan kompetensi yang diharapkan.❖Setiap mempelajari materi, Ananda harus mulai dari menguasai pengetahuan pendukung (uraian materi) melaksanakan tugas-tugas, mengerjakan lembarlatihan.❖Dalam mengerjakan lembar latihan, Ananda jangan melihat kunci jawaban terlebih dahulu sebelum Ananda menyelesaikan lembar latihan. ❖Kerjakan lembar kerja untuk pembentukan keterampilan sampai Ananda benar-benar terampil sesuai kompetensi. ❖Sebelum konsultasi dengan guru ketika menghadapi kesulitan dalam memahami salah satu atau beberapa materi dalam modul ini, cobalah Ananda buka atau browsing literatur atau buka buku-buku referensi lain yang relevan dengan materi dalam modul ini. PetunjukKhusus❖Pada kegiatan pembelajaran kali ini Ananda akan mempelajari limit fungsi trigonometri dan rumus dasarnya, serta bagaimana cara mengerjakan limit fungsi trigonometri ini secara praktis dengan menggunakan konsep aljabar yang telah Ananda peroleh sebelumnya sejak SMP dan di kelasXI, serta menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri❖Perhatikan dengan seksama setiap konsep dan pahamilah contoh-contoh soal yang diberikan, dengan demikian Ananda dapat mengerjakan soal latihan pada lembar kerja secara sistematis. ❖Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat agar Ananda dapat:▪Menggunakan sifat-sifat limit fungsi dalam menyelesaikan soal-soal yang berkaitan.▪Menyelesaikan masalah limit fungsi trigonometri.E.Materi PembelajaranModul ini terbagi menjadi 2kegiatan pembelajarandandi dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Pertama :Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri dengan metode substitusi dan rumus dasar limit fungsi trigonometriKedua : Menyelesaikan Limit Fungsi Trigonometri dengan menggunakan rumus trigonometri
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN8KEGIATAN PEMBELAJARAN 1Limit Fungsi Trigonometri 1A.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkandapatMenjelaskan arti limit fungsi trigonometri di suatu titik; Menghitung limit fungsi trigonometri di suatu titikdan Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometriB.Uraian MateriPada pelajaran matematika wajib kelas XI, Ananda telah belajar mengenai definisi limit fungsi aljabar yaitu bahwa suatu limit fungsi f(x) dikatakan mendekati a {f(x), a} sebagai suatu limit. Bila x mendekati a, dinotasikan limit F(x) = L. Cara menyelesaikan limit fungsi aljabar, terdapat 3 cara untuk menyelesaikan limit fungsi aljabar yaitu dengan metode (1) substitusi langsung; (2) pemfaktoran; (3) merasionalkan penyebut. Nahhh semoga Ananda masih mengingat ini yaa... Pada kegiatan pembelajaran ini Ananda akan belajar bagaimana menyelesaikan limit fungsi trigonometri. Cara menyelesaikan limit fungsi trigonometri dibagi menjadi 4 metode, yaitu (1) dengan metode substitusi langsung; (2) dengan menggunakan rumus dasar limit fungsi trigonometri; (3) dengan metode pemfaktoran; (4) dengan cara menyederhanakan fungsi trigonometrinya. Sebagai materi prasyarat pada bahasan limit fungsi trigonometri selain Ananda harus hapal nilai-nilai sudut istimewa untuk sin, cos, tan dan kebalikannya juga harus hapal rumus-rumus trigonometrinya ya. Jadi Ananda boleh sambil buka buku atau catatan kelas X tentang rumus-rumus trigonometri dan kelas XI tentang limit fungsi aljabar. Okay, sekarang kita lihat satu per satu cara menyelesaikanlimit fungsi trigonometri.. 1.Metode substitusi langsung Penerapan metode substitusi langsung dalam menentukan atau menyelesaikan limit fungsi trigonometri sangat mudah, yakni dengan langsung mengganti x dengan angka yang tertera di soal atau lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎)Perhatikan contoh soal berikut:Gunakan metode substitusi untuk menentukan nilai Limit fungsi trigonometri berikut ini:1.lim𝑥→𝜋4sin2𝑥=sin2(𝜋4)=sin2𝜋4=sin900=12.lim𝑥→3𝜋4tan3𝑥+2=tan3(3𝜋4)+2=tan(450)+2=1+2=33.lim𝑥→0sin𝑥sin𝑥+cos𝑥=sin0sin0+cos0=00+1=04.lim𝑥→𝜋21−cos2𝑥2cos2𝑥=1−cos2(𝜋2)2cos2(𝜋2)=1−cos𝜋2cos𝜋=1−(−1)2(−1)=1+1−2=2−2=−1
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9Berikut disajikan tabel sudut istimewa yaa biar Ananda gak ribet lagi nihhh.. tapi nanti harus dihapalkan. 2.Menggunakan rumusdasar limit fungsi trigonometriRumus dasar limit fungsi trigonometri tersebut adalah:1.𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎𝐬𝐢𝐧𝒂𝒙𝒃𝒙=𝒂𝒃5. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎𝐭𝐚𝐧𝒂𝒙𝐭𝐚𝐧𝒃𝒙=𝒂𝒃2.𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟎𝒂𝒙𝐬𝐢𝐧𝒃𝒙=𝒂𝒃6. 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟎𝐬𝐢𝐧𝒂𝒙𝒃𝒙=𝒂𝒃3.𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟎𝒕𝒂𝒏𝒂𝒙𝒃𝒙=𝒂𝒃7. 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟎𝐭𝐚𝐧𝒂𝒙𝐬𝐢𝐧𝒃𝒙=𝒂𝒃4.𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟎𝒂𝒙𝐭𝐚𝐧𝒃𝒙=𝒂𝒃8. 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎𝐬𝐢𝐧𝒂𝒙𝐭𝐚𝐧𝒃𝒙=𝒂𝒃Perhatikan dengan seksama dan teliti rumus dasar di atas, jika Ananda jeli Ananda akan menemukan pola jawaban rumus tersebut. Sebagai penguat kita simak contoh soal di bawah ini yaa.Dengan menggunakan rumus limit fungsi trigonometri di atas, tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut:1.lim𝑥→0sin2𝑥3𝑥=𝟐𝟑2.𝑙𝑖𝑚𝑥→02𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥=𝟐𝟑3.𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑡𝑎𝑛5𝑥3𝑥=𝟓𝟑4.𝑙𝑖𝑚𝑥→02𝑥𝑡𝑎𝑛6𝑥=𝟐𝟔=𝟏𝟑5.𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑡𝑎𝑛2𝑥𝑡𝑎𝑛5𝑥=𝟐𝟓6.𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑡𝑎𝑛5𝑥−𝑡𝑎𝑛3𝑥3𝑥=⋯dengan menggunakan sifat dari limit fungsi aljabar yang telah Ananda pelajari di kelas XI, maka soal ini dapat kita pecah menjadi
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10𝑙𝑖𝑚𝑥→0𝑡𝑎𝑛5𝑥3𝑥−lim𝑥→0𝑡𝑎𝑛3𝑥3𝑥=𝟓𝟑−𝟑𝟑=𝟐𝟑Dari keenam contoh soal yang diberikan, ternyata untuk menjawabnya Ananda tinggal menuliskan angka yang tertera di soal aja yaa... Gimana mudah bukan...? Yakin deh 100% Ananda dapat mengikutinya sehingga kita lanjut ke tingkatan berikutnya. Yukk kita simak lagi contoh soal berikutnya.Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut ini:lim𝑥→0𝑥sin5𝑥3𝑥tan2𝑥=lim𝑥→0𝑥3𝑥.lim𝑥→0sin5𝑥tan2𝑥=13.52=56lim𝑥→02𝑠𝑖𝑛22𝑥3𝑥2=lim𝑥→02sin2𝑥.sin2𝑥3.𝑥.𝑥=23lim𝑥→0sin2𝑥𝑥.lim𝑥→0sin2𝑥𝑥=23.21.21=83C.RangkumanCara menyelesaikan limit fungsi trigonometri pada pembelajaran pertama ini dilakukan dengan dua cara yaitu cara substitusi dan pemfaktoran. 1.lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎)2.lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=(𝑥−𝑎)𝑓(𝑎)(𝑥−𝑎)𝑔(𝑎)D.Latihan SoalIsilah soal dibawah ini dengan benar1.Nilai dari lim𝑥→0sin2𝑥sin6𝑥=⋯2.Nilai dari lim𝑥→0tan7𝑥+tan3𝑥−sin5𝑥tan9𝑥−tan3𝑥−sin𝑥=⋯3.Nilai dari lim𝑥→𝜋2cos𝑥𝑥−𝜋2adalah ...4.lim𝑥→0𝑠𝑖𝑛32𝑥𝑡𝑎𝑛312𝑥=⋯5.Nilai dari lim𝑥→02𝑥2+𝑥sin𝑥=⋯6.lim𝑥→0sin2𝑥sin3𝑥sin2𝑥tan3𝑥=⋯7.lim𝑥→0sin𝑎𝑏𝑥tan𝑐𝑥=⋯
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN11PembahasanNoPembahasanSkoring1PenyelesaianSubstitusi langsung x = 0 akan menghasilkan bentuk tak tentu 00. Berdasarkan rumus limit fungsi trigonometri lim𝑥→0sin𝑎𝑥sin𝑏𝑥=𝑎𝑏maka dari soal tersebut diketahui a = 2 dan b = 3 jadi nilai dari lim𝑥→0sin2𝑥sin3𝑥=23102PenyelesaianSubstitusi langsung x = 0 akan menghasilkan bentuk tak tentu 00.Munculkan bentuk yang sesuai dengan rumus limit fungsi trigonometri yang ada dnegan cara mengalikannya dengan 1𝑥.Sehingga diperoleh:lim𝑥→0tan7𝑥+tan3𝑥−sin5𝑥tan9𝑥−tan3𝑥−sin𝑥.𝟏𝒙=lim𝑥→0tan7𝑥𝑥+tan3𝑥𝑥−sin5𝑥𝑥tan9𝑥𝑥−tan3𝑥𝑥−sin𝑥𝑥=7+3−59−3−1=55=1103Penyelesaian Gunakan rumus trigonometri berikut:cos𝑥=sin(𝜋2−𝑥)Dengan demikian akan diperoleh:lim𝑥→𝜋2cos𝑥𝑥−𝜋2=lim𝑥→𝜋2sin(𝜋2−𝑥)𝑥−𝜋2=lim𝑥→𝜋2sin(𝜋2−𝑥)−(𝜋2−𝑥)=−lim𝑥→𝜋2sin(𝜋2−𝑥)(𝜋2−𝑥)=−1104PenyelesaianSubstitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu 00.Berdasarkan rumus limit fungsi trigonometri untuk lim𝑥→0sin𝑎𝑥tan𝑏𝑥=𝑎𝑏maka dari soal diketahui a = 2 dan b = ½ sehingga diperoleh:lim𝑥→0𝑠𝑖𝑛32𝑥𝑡𝑎𝑛312𝑥=lim𝑥→0(sin2𝑥tan12𝑥)3=(212)3=43=64105Penyelesaian Substitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu 00Langkah selanjutnya adalah dengan emlakukan pemisahan pecahan menjadi dua suku. Lalu munculkan bentuk yang sesuai dengan rumus trigonometri yang ada. 10
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN12NoPembahasanSkoringlim𝑥→02𝑥2+𝑥sin𝑥=lim𝑥→02𝑥2sin𝑥+lim𝑥→0𝑥sin𝑥=lim𝑥→02𝑥𝑥sin𝑥+lim𝑥→0𝑥sin𝑥=lim𝑥→02𝑥.lim𝑥→0𝑥sin𝑥+lim𝑥→0𝑥sin𝑥=2(0)(1)+1=0+1=16lim𝑥→0sin2𝑥sin3𝑥sin2𝑥tan3𝑥=22.33=1107lim𝑥→0sin𝑎𝑏𝑥tan𝑐𝑥=𝑎𝑏𝑐=𝑎𝑏.1𝑐=𝑎𝑏𝑐10TOTAL SKOR70
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN13E.Penilaian DiriNo.PertanyaanJawabanYaTidak1.Apakah Ananda mampu memahami cara menentukan limit fungsi trigonometri? ?2.Apakah Ananda telah mampu menyelesaikan limit fungsi trigonometri dengan substitusi? 3.Apakah Ananda mampu menyelesaikan limit fungsi trigonometri dengan menggunakan rumus dasar trigonometri?
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN14Sifat-sifat limitKEGIATAN PEMBELAJARAN 2Limit Fungsi Trigonometri 2A.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan dapatmenghitung limit fungsi trigonometri di suatu titikdengan menggunakan rumus dasar trigonometri dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometriB.Uraian MateriPada pembelajarankali ini, Ananda akan belajar bagaimana cara menghitung limit fungsi trigonometri. Cara menghitungnya kita akan gunakan rumus dasar trigonometri dan penyederhanaan rumus-rumusnya. 1)Menggunakan metode pemfaktoranUntuk metode pemfaktoran konsepnya sama persis dengan metode pemfaktoran dalam limit fungsi aljabar yang telah Ananda pelajari di kelas XI. Metode pemfaktoran dilakukan ketika Ananda menemukan jawaban dengan bentuk tak tentu atau 00, nahh artinya di sini Ananda harus melakukan pemfaktoran. Trik metode pemfaktoran adalah Ananda harus membuang si pembuat nol dalam fungsi tersebut. Sebagai contoh, perhatikan soal di bawah ini.Tentukan nilai limit berikut:1.lim𝑥→0tan𝑥𝑥2+2𝑥=lim𝑥→0tan𝑥𝑥(𝑥+2)=lim𝑥→0tan𝑥𝑥.lim𝑥→01(𝑥+2)=11.10+2=1.12=122.lim𝑥→1sin(𝑥−1)(2𝑥+3)𝑥2+4𝑥−5=lim𝑥→1sin(𝑥−1)(2𝑥+3)(𝑥−1)(𝑥+5)=lim𝑥→1sin(𝑥−1)(𝑥−1).lim𝑥→1(2𝑥+3)(𝑥+5)=1.2(1)+3(1+5)=56lim𝑥→1tan(𝑥−1)sin(1−√𝑥)𝑥2−2𝑥+1=lim𝑥→1tan(𝑥−1)sin(1−√𝑥)(𝑥−1)(𝑥−1)=lim𝑥→1tan(𝑥−1)(𝑥−1).lim𝑥→1sin(1−√𝑥)(𝑥−1)=1.lim𝑥→1sin(1−√𝑥)−(1−√𝑥)(1+√𝑥)=−1.lim𝑥→1sin(1−√𝑥)(1−√𝑥).lim𝑥→11(1+√𝑥)=−1.1.11+√1=−1.1.12=−12faktorkan
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN152) Menyederhanakan Fungsi TrigonometrinyaUntuk dapat mengerjakan soal limit fungsi trigonometri seperti ini, mengharuskan Ananda buka kembali rumus-rumus trigonometrinya. Agar lebih efektif yuk simak contoh soalnya.Tentukan nilai limit fungsi berikut ini:1.lim𝑥→01−cos𝑥2𝑥sin𝑥=Jika Ananda mensubstitusi x dengan 0 maka akan didapat bentuk tak tentu atau 00. Dalam hal ini Ananda harus merubah cos x menjadi fungsi lain. lim𝑥→01−cos𝑥2𝑥sin𝑥=lim𝑥→01−(𝑐𝑜𝑠212𝑥−𝑠𝑖𝑛212𝑥)2𝑥sin𝑥=lim𝑥→0(1−𝑐𝑜𝑠212𝑥)+𝑠𝑖𝑛212𝑥2𝑥sin𝑥=lim𝑥→0𝑠𝑖𝑛212𝑥+𝑠𝑖𝑛212𝑥2𝑥sin𝑥=lim𝑥→02𝑠𝑖𝑛212𝑥2𝑥sin𝑥=lim𝑥→02𝑠𝑖𝑛12𝑥.𝑠𝑖𝑛12𝑥2𝑥sin𝑥=lim𝑥→02𝑠𝑖𝑛12𝑥2𝑥.lim𝑥→0𝑠𝑖𝑛12𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥=2.122.121=142.lim𝑥→𝜋4cos2𝑥cos𝑥−sin𝑥=lim𝑥→𝜋4𝑐𝑜𝑠2𝑥−𝑠𝑖𝑛2𝑥cos𝑥−sin𝑥=lim𝑥→𝜋4(cos𝑥−sin𝑥)(cos𝑥+sin𝑥)(cos𝑥−sin𝑥)=lim𝑥→𝜋4cos𝑥+sin𝑥=𝑐𝑜𝑠𝜋4+sin𝜋4=12√2+12√2=√2Bagaimana dengan contoh soal tersebut? Ananda sudah mulai paham kan cara mengerjakannya? Agar lebih matang, Ananda kembali ingat rumus-rumus trigonometrinya yaa... nihhh di bawah ini disajikan beberapa rumus trigonometri untuk Ananda.Berikut ini merupakankumpulan rumus dasar trigonometri. Ananda tinggal menyesuaikan sudut yang diminta dari soal yang diberikan seperti contoh soal di atas. 𝐼𝑛𝑔𝑎𝑡𝐾𝑒𝑚𝑏𝑎𝑙𝑖𝑟𝑢𝑚𝑢𝑠:cos2𝑥=𝑐𝑜𝑠2𝑥−𝑠𝑖𝑛2𝑥cos𝑥=𝑐𝑜𝑠212𝑥−𝑠𝑖𝑛212𝑥𝐼𝑛𝑔𝑎𝑡𝐾𝑒𝑚𝑏𝑎𝑙𝑖𝑟𝑢𝑚𝑢𝑠:𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥=1Maka 𝑠𝑖𝑛2𝑥=1−𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑖𝑛212𝑥=1−𝑐𝑜𝑠212𝑥
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN16C.RangkumanPada pembelajaran ini Ananda diharapkan dapat mengingat rumus-rumus trigonometri di bawah ini agar ketika menyelesaikan limit fungsi trigonometri yang mengharuskan mengganti, atau menyederhanakan dengan rumus trigonometri, Ananda dapat lancar mengerjakannya.D.Latihan SoalKerjakan soal untuk mengukur kemampuan pemahaman konsep Ananda terhadap materi limit fungsi trigonometri berikut ini:1.lim𝑥→2sin(𝑥−2)𝑥2−4=⋯2.Nilai dari lim𝑥→𝜋4cos2𝑥cos𝑥−sin𝑥=⋯3.lim𝑥→01−cos2𝑥𝑥tan12𝑥=⋯4.lim𝑥→0tan(3𝑥−𝜋)cos2𝑥sin(3𝑥−𝜋)=⋯5.Nilaidarilim𝑥→1tan(𝑥−1)sin(1−√𝑥)𝑥2−2𝑥+1=⋯
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN17PembahasanNoPembahasanSkoring1Penyelesaian lim𝑥→2sin(𝑥−2)𝑥2−4=lim𝑥→2sin(𝑥−2)(𝑥−2)(𝑥+2)=lim𝑥→2sin(𝑥−2)(𝑥−2).lim𝑥→21(𝑥+2)=1.11+2=13102Penyelesaianlim𝑥→𝜋4cos𝑥−sin𝑥cos2𝑥=lim𝑥→𝜋4cos𝑥−sin𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥−𝑠𝑖𝑛2𝑥=lim𝑥→𝜋4(cos𝑥−sin𝑥)(cos𝑥−sin𝑥)(cos𝑥+sin𝑥)=lim𝑥→𝜋4cos𝑥−sin𝑥cos𝑥−sin𝑥.lim𝑥→𝜋41cos𝑥+sin𝑥=1.1𝑐𝑜𝑠𝜋4+𝑠𝑖𝑛𝜋4=112√2+12√2=1√2.√2√2=√2√4=√22=12√2103Penyelesaianlim𝑥→𝜋3tan(3𝑥−𝜋)cos2𝑥sin(3𝑥−𝜋)=lim𝑥→𝜋3tan(3𝑥−𝜋)sin(3𝑥−𝜋).lim𝑥→𝜋3cos2𝑥=1.lim𝑥→𝜋3cos2𝑥=1.cos2(𝜋3)=cos120=−12104Penyelesaianlim𝑥→01−cos2𝑥𝑥tan12𝑥=lim𝑥→02𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑥tan12𝑥=lim𝑥→02sin𝑥.sin𝑥𝑥tan12𝑥=lim𝑥→02sin𝑥𝑥.lim𝑥→0sin𝑥tan12𝑥=2.lim𝑥→0sin𝑥𝑥.lim𝑥→0sin𝑥tan12𝑥=2.1.112=2.1.2=410
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN185lim𝑥→1tan(𝑥−1)sin(1−√𝑥)𝑥2−2𝑥+1=lim𝑥→1tan(𝑥−1)sin(1−√𝑥)(𝑥−1)(𝑥−1)=lim𝑥→1tan(𝑥−1)(𝑥−1).lim𝑥→1sin(1−√𝑥)(𝑥−1)=1.lim𝑥→1−sin(√𝑥−1)(√𝑥−1)(√𝑥+1)=−1.1.1√1+1=−1210TOTAL SKOR50E.PenilaianDiriNo.PertanyaanJawabanYaTidak1.Apakah Ananda mampu memahami cara menentukan limit fungsi trigonometri dengan menggunakan rumus trigonometri?2.Apakah Ananda telah mampu menyelesaikan limit fungsi trigonometri dengan pemfaktoran? 3.Apakah Anandamampu menyelesaikan limit fungsi trigonometri dengan menggunakan penyederhanaan rumus trigonometri?
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN19EVALUASIPilih satu jawaban yang paling tepat!1. Nilai dari lim𝑥→0sin𝑥+sin5𝑥6𝑥=⋯A. 2D. 13B. 1E. –1C. 122. Nilai dari lim𝑥→2sin(𝑥−2)𝑥2−3𝑥+2=⋯A. −12D. 12B. −13E. 1C. 03. Nilai dari lim𝑥→0sin12𝑥2𝑥(𝑥2+2𝑥−3)=⋯A.–4D. 2B.–3E. 6C.–24. Nilai dari lim𝑥→0cos4𝑥sin3𝑥5𝑥=⋯A. 53D. 15B. 1E. 0C. 525. Nilai dari lim𝑥→01−cos4𝑥𝑥2=⋯A. –8D. 4B. –4E. 8C. 2D. 46.Nilai dari lim𝑥→0(𝑥2−1)sin6𝑥𝑥3+3𝑥2+2𝑥=⋯A. –3D. 3B. –2 E. 5C. 27. Nilai dari lim𝑥→1sin(1−1𝑥)cos(1−1𝑥)𝑥−1=⋯A. –1 D. 12B. −12E. 1C. 08.Nilai darilim𝑥→2(𝑥2−5𝑥+6)sin(𝑥−2)(𝑥2−𝑥−2)2=⋯A. 13D. −19B. 15E. −13
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN20C. 09. Nilai dari lim𝑥→𝜋4cos2𝑥cos𝑥−sin𝑥=⋯A. 14√2D. 2√2B. 12√2E. 3√2C. √210. Nilai dari lim𝑥→0𝑥tan𝑥1−cos2𝑥=⋯A. −12D. 1B. 0E. 2C. 1212. lim𝑥→0tan𝑥𝑥2+2𝑥=⋯A.2B.1C.0D.12E.−1213. lim𝑥→0𝑠𝑖𝑛32𝑥𝑡𝑎𝑛312𝑥=⋯A.23B.24C.25D.26E.2714. lim𝑥→02𝑠𝑖𝑛22𝑥3𝑥tan3𝑥=⋯A.23B.43C.83D.89E.8615. lim𝑥→−3𝑥2+6𝑥+92−2𝑐0𝑠(2𝑥+6)=⋯A.3B.1C.12D.13E.1416. lim𝑥→0cos𝑥−cos5𝑥𝑥tan2𝑥=⋯A.–4B.–2C.4D.6E.8
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2517. lim𝑥→𝜋3cos𝑥−sin𝜋6𝜋6−𝑥2=⋯A.−12√3B.−13√3C.√3D.−2√3E.−3√318. lim𝑥→06𝑥tan2𝑥1−cos6𝑥=⋯A.13B.23C.1D.2E.319. lim𝑥→2(𝑥−2)𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥−2𝜋)tan(2𝜋𝑥−4𝜋)=⋯A.2𝜋B.𝜋C.0D.1𝜋E.12𝜋20. lim𝑥→14𝜋1sin𝑥−1cos𝑥𝑥−14𝜋=⋯A.−2√2B.−√2C.0D.√2E.2√2
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN26KUNCI JAWABAN 1.B2.E3.C4.C5.E6.A7.E8.D9.C10.C11.D12.D13.D14.D15.E16.D17.C18.B19.E20.A
Modul Matematika Peminatan Kelas XII KD 3.1@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN27DAFTAR PUSTAKAErlangga Fokus UN SMA/MA 2013Program IPA. (2012). Jakarta: Erlangga.Erlangga X-Press UN 2015 SMA/MA Program IPA. (2014). Jakarta: Erlangga.Matematika Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan(2014). Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Siswanto. (2005). Matematika Inovatif: Konsep dan Aplikasinya. Solo: Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.Willa Adrian. (2008). 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika Dasar. Bandung: Yrama Widya.